Функция y= f(x) называется бесконечно малой при  или при , если  

т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры:

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при , так как 
2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при .
3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при .
4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при .

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины : f (x)=b + то  .

Обратно, если  , то f (x)=b+, где – бесконечно малая при .

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+ следует |f(x) – b|=| |. Но так как – бесконечно малая, то при произвольном найдется – окрестность точки a, при всех x из которой, значения удовлетворяют соотношению ||< . Тогда |f(x) – b|< . А это и значит, что .
2. Если , то при любом >0 для всех х из некоторой  – окрестности точки a будет |f(x) – b|< . Но если обозначим f(x) – b = , то || <, а это значит, что  – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции  на ограниченную функцию f(x) при (или при ) есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при .

Доказательство. Возьмем произвольное число > 0 и покажем, что при некотором > 0 (зависящим от ) при всех x, для которых |x – a|<, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при , то найдется > 0 такое, что как только |x – a| < , так |f(x)|>1/ . Но тогда для тех же x .

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при  (или ) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.