Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Home page Home page Лекция 3.2.

Производная и дифференциал


3.2.1. Определение производной

Пусть имеем некоторую функцию y= f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x из этого промежутка функция y = f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x0 и новое x. Разность x - x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается x. Таким образом, x = x - x0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x0+x, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x0 значение функции было f(x0), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x0 +x).

Разность y – y0 = f(x) - f(x0) называется приращением функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом y. Таким образом,

y = f(x) - f(x0) = f(x0 +x) - f(x0).                                                                                               (1)

Обычно исходное значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y0 = f(x0) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения y и x также будут переменными и формула (1) показывает, что y является функцией переменной x.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x0 и обозначают f '(x0). Итак,

Производной данной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f '(x), y ', . Конкретное значение производной при x = a обозначается f '(a) или .

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

  1. Придать x приращение x и найти наращенное значение функции f(x + x).
  2. Найти приращение функции y = f(x + x) – f(x).
  3. Составить отношение и найти предел этого отношения при .

Пример

Пример 1

Найти производную функции y = x2

а) в произвольной точке;

б) в точке x = 2.


Решение:

a)

б) f '(2) = 4

Пример

Пример 2

Используя определение, найти производную функции в произвольной точке.

Решение:


Top of page