Лекция 1.2.

Векторная алгебра

1.2.2 Линейные операции над векторами.

Линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов и умножение вектора на число.

Определение 1.

Суммой двух векторов и называется вектор соединяющий начало вектора с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора .

Пример 1.

Правило сложение двух векторов, получаемое из определения суммы векторов обычно называют "правилом треугольника".

Рис. 2.6.

Из определения суммы можно получить правило сложения для неколлинеарных векторов, именуемое "правилом параллелограмма", если вектор параллельно перенести в начало вектора (рис. 2.6.).

Определение 2.

Суммой двух векторов и , исходящих из одной точки, называется вектор , исходящий из той же точки и являющийся диагональю параллелограмма АВСD, построенного на векторах и .

При сложении более чем двух векторов используется "правило многоугольника":

Определение 3.

Суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, при условии, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего (рис. 2.7.).

Рис. 2.7.

Для сложения трех некомпланарных векторов удобно пользоваться "правилом  параллелепипеда” (рис.2.8.).

Пусть надо найти сумму некомпланарных векторов , , .

Отложим от произвольной точки О векторы , , . Построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ, ОС были его ребрами. Вектор - диагональ параллелепипеда, является искомой суммой. Действительно, , так как .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1) (переместительный закон)

2) (сочетательный закон);

3) существует нулевой вектор такой, что для любого вектора ;

4) для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что .

Справедливость свойств 1) - 4) вытекает из правил сложения векторов.

Определение 4.

Разностью вектора и вектора называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

С помощью свойств 1) - 4) элементарно доказывается, что существует, и притом единственный, вектор , причем , где - вектор, противоположный .

Из этого определения и из "правила треугольника" сложения векторов вытекает следующее правило построения разности (рис.2.9.):

Разность , приведенных к общему началу вектора и вектора представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора .

Заметим, что разностью 2-х векторов и вектора в отличии от суммы является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

3. Умножение вектора на число

Определение 5. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет:

1) модуль, равный ;

2) направление, одинаковое с вектором , если и противоположное, если ; (Замечание: .)

Законы умножения вектора на число:

1) (переместительный);

2) (сочетательный);

3) (распределительные).

Определение 6.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является существование такого числа , что .

Вектор, противоположный вектору определяется как .

Определение 7.

Ортом данного вектора называется вектор, направленный одинаково с данным, и имеющий длину, равную единице. Из определения умножения вектора на число следует, что

.