Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Пусть к точке М этого тела приложена сила (рис.2.16). Из физики известно, что воздействие этой силы на тело с неподвижной точкой О характеризуется особой векторной величиной , которая называется моментом силы относительно точки О. Числовая мера момента (его модуль) является произведением модуля силы на расстояние h линии ее действия от точки О ("плечо силы"). Иначе говоря, модуль момента численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . Момент направлен по перпендикуляру к плоскости, проходящей через точку О и силу , в ту сторону, откуда вращение тела вокруг точки О, вызываемое силой , видно происходящим против часовой стрелки.

Момент силы относительно точки О : и называется векторным произведением вектора , соединяющего точку О с точкой приложения силы, и вектора , который задает силу.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется третий вектор , который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах;

2) направлен перпендикулярно к перемножаемым векторам в ту сторону, откуда наименьший поворот первого множителя, совмещающий его направление с направлением второго множителя, виден происходящим против хода часовой стрелки.

Обозначают векторное произведение так: . Мы будем пользоваться первым из них: . Из формулы для площади параллелограмма получаем следующую формулу для модуля векторного произведения:

,

где - угол между векторами и . Момент силы , приложенной в точке М, относительно точки О в принятых обозначениях будет определяться формулой .

При равенстве нулю векторного произведения: : , а это равносильно тому, что либо , либо , либо , т.е. . 

Итак, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю или когда эти векторы коллинеарны.

Имея в виду, что нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, мы можем сформулировать полученный результат короче: условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения: . Очевидно (*).

Законы векторного умножения

1) При перестановке множителей векторное произведение меняет только свой знак: .

2) Выполняется распределительный закон: .

3) Выполняется закон сочетательности относительно скалярного множителя: .

Рассмотрим векторное произведение координатных ортов. В силу (*) имеем:

(2.7)

При рассмотрении векторных произведений разноименных координатных ортов существенным является предположение, что выбранная координатная система является правой. При этом предположении вектор будет направлен одинаково с вектором , а вектор - в противоположную сторону. Так как:

,

то получаем .

Для определения получающихся результатов удобно пользоваться схемой, приведенной на рис.2.17:

Векторное произведение двух разноименных ортов, следующих друг за другом в направлении положительного обхода окружности, равно третьему орту со знаком плюс, в противоположном же случае - знаком минус. Используя это правило, получим следующую таблицу:

(2.8)

Векторное произведение в координатной форме

Пусть два вектора и разложены по координатным ортам:

Перемножив почленно эти разложения, мы получим:

Отсюда, согласно правилам векторного перемножения ортов, будет следовать

или, после группировки коэффициентов у соответствующих ортов:

.

Полученные коэффициенты при являются определителями второго порядка:

.

Мы видим, что в правой части получился развернутый определитель третьего порядка, элементами первой строки которого являются векторы .

Таким образом:

(2.9)

Это и есть окончательная формула, выражающая векторное произведение в координатной форме.

Пример 1.