В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно высшей производной.
Уравнение, разрешенное относительно высшей производной, можно записать так:
.
Наиболее простым такое дифференциальное уравнение оказывается тогда, когда оно имеет вид: y ⁽ⁿ⁾ = f(x) , где f(x) - заданная функция.

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение .
Из этого уравнения сразу видно, что
,
где C₁ - произвольная постоянная.
В свою очередь из последнего уравнения следует, что
,
где C₂ - произвольная постоянная, никак не связанная с постоянной C₁ .

Найденное решение зависит от двух произвольных постоянных, при этом исходное дифференциальное уравнение было уравнением второго порядка. Такое решение называется общим решением этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция , существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

Решения, получаемые из общего при закреплении постоянных называются частными .

В прикладных вопросах часто приходится искать такое решение дифференциального уравнения n-го порядка, которое удовлетворяет n условиям:
при заданном значении сама функция   y и ее первые n -1 производных

должны принимать заданные значения
.

Вообще говоря, последние условия, называемые начальными, выделяют из общего решения единственное частное решение.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения y ⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y ^I,y ^II,..,y ^(n-1)) , удовлетворяющего n начальным условиям: y(x_o ) = y_o , y ^I (x_o ) = y ^I_o ,.., y ^(n-1) (x_o ) = y ^(n-1)_o называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y,y ^I,y ^II,..,y ^(n-1)) - правая часть дифференциального уравнения y ⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y ^I,y ^II,..,y ^(n-1)) - непрерывна в замкнутой n - мерной области D: Oxyy ^I..y ^(n-2)y ^(n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по y, y ^I, .. , y ^(n-2), y ^(n-1) , то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.