ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Лекция 2.1.

Уравнение прямой на плоскости.

2.1.3 Вычисление угла между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Одной из стандартных задач аналитической геометрии является вычисление угла между двумя прямыми. Выведем формулу, по которой можно вычислить угол между прямыми, зная их угловые коэффициенты ( предполагаем, что ни одна из прямых не перпендикулярна оси OX).

Рассмотрим две прямые; будем одну из них (какую угодно) называть первой, другую второй. Обозначим соответственно, через k₁ и k₂ угловые коэффициенты этих прямых, через – угол наклона второй прямой к первой, то есть угол, на который нужно повернуть первую прямую, чтобы придать ей одно из направлений второй прямой. Углу припишем знак плюс или минус в зависимости от того, будет ли этот поворот положительным или отрицательным. Говоря об угле между двумя прямыми, мы и будем подразумевать угол . Пусть угол наклона первой прямой к оси OX. Если мы повернем ось OX на угол то придадим ей одно из направлений первой прямой; если затем повернуть ось OX еще на угол то она получит одно из направлений второй прямой. Таким образом, прибавляя к углу угол мы получим угол наклона к оси OX второй прямой; обозначим его через , Согласно сказанному имеем: или . Отсюда:

Но , следовательно:

(1)

Это и есть формула, которую мы хотели получить.

В случае тангенс угла теряет арифметический смысл ( “обращается в бесконечность”); в этом случае знаменатель первой части формулы (1) будет равен нулю.

Пример 1. Определить угол между прямыми: и .

Решение. По формуле (1) находим: .

Таким образом, один из углов, которые составляют данные прямые, равен .

При решении различных задач аналитической геометрии часто бывает важно, зная уравнения двух прямых, установить, являются ли они параллельными или перпендикулярными друг другу.

Пусть известны угловые коэффициенты двух прямых k₁ и k₂ . Обозначим через и соответственно углы наклона этих прямых к оси OX. Очевидно, что данные прямые параллельны тогда, когда углы наклона их к оси OX имеют одинаковые значения, то есть тогда, когда . Но , . Отсюда делаем вывод, что признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

Данные прямые перпендикулярны тогда, когда угол между ними равен , то есть, когда , в этом случае знаменатель правой части формулы (1) обращается в ноль, и мы имеем:

Следовательно, признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение:

или

(2)

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых формулируют так: угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Применяя это правило сразу можно сказать, что, например, прямые и параллельны друг другу, а прямые и перпендикулярны друг другу.

Пример 2. Найти проекцию точки Р(4, 9) на прямую, проходящую через точка А(3, 1) и В(5, 2).

Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение прямой АВ и уравнение перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р. Прежде всего составим уравнение прямой АВ:

или .

Теперь составим уравнение перпендикуляра из точки Р на прямую АВ, напишем уравнение произвольной прямой, проходящей через точку Р, используя формулу (4) параграфа 2.1.2:

где k пока еще неопределенный угловой коэффициент. Искомая прямая перпендикулярна к прямой АВ, следовательно ее угловой коэффициент должен удовлетворять условию перпендикулярности с прямой АВ. Так как угловой коэффициент прямой АВ равен , то согласно формуле (2) угловой коэффициент k = -2. Подставляя найденное значение в уравнение перпендикуляра, получим:

или .

Решая совместно уравнения получим координаты проекции: x = 7, y = 3.

Задачи для самостоятельного решения.