ODE Lecture 6.1.

Темы \| Предыдущий пункт \| Следующий пункт \| Литература

Лекция 3.1. Предел. Непрерывность функции.

3.1.5. Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда и , где и – бесконечно малые функции. Следовательно,

Так как b + c есть постоянная величина, а – функция бесконечно малая, то

Пример

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Доказательство. Пусть . Следовательно , и .

Произведение bc есть величина постоянная. Функция на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

Пример:

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е

Доказательство. Пусть . Следовательно , , где и – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел .

Примеры:

2. Рассмотрим . При x стремящимся к 1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x стремящимся к 1, то .

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам

u(x)≤f(x)≤ v(x).

Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при (или ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если .

Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

Теорема 5. Если при (или ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x) > g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b>c.