Первый замечательный предел

Функция  не определена при x = 0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке

Однако, можно найти предел этой функции при :

Приведем доказательство записанной формулы. 

Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол , выраженный в радианах, заключен в пределах . (Так как  четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака , то достаточно рассмотреть случай, когда > 0) Из рисунка видно, что

Так как указанные площади соответственно равны

Следовательно,

Разделим все члены неравенства на sin>0

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что .

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности