Механический смысл производной

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v – скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s = s(t).

Отметим некоторый момент времени t₀. К этому моменту точка прошла путь s=s(t₀). Определим скорость v материальной точки в момент времени t₀.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t₀+t. Ему соответствует пройденный путь s=s(t₀+t). Тогда за промежуток времени t точка прошла путь Δs=s(t₀+t) – s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t₀ (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени t.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t₀ (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t₀ до t₀+t, когда t стремится к нулю:

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

Геометрический смысл производной

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М₀ (см. рисунок). 

Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M₀M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М₀ остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М₀ с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М₀Т, то прямая М₀Т называется касательной к кривой в данной точке М₀.

Т.о., касательной к кривой в данной точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М₀.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y = f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х₀ функция принимает значение y₀= f(x₀). Этим значениям x₀ и y₀ на кривой соответствует точка М₀ (x₀; y₀). Дадим аргументу x₀ приращение х. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y₀+y=f(x₀ -x). Получаем точку М(x₀+x; y₀+y). Проведем секущую М₀М и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение  и заметим, что .

Если теперь , то в силу непрерывности функции , и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М₀. Тогда секущая М₀М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М₀, а угол при , где через обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg  непрерывно зависит от при то при и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f '(x) = tg .

Т.о., геометрически у '(x₀) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x₀, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀ (x; y) с положительным направлением оси Ox.