Лекция 11.1.

Числовые ряды

11.1.3. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда.  Критерий Коши.

необходимое и достаточное условие сходимости заключается в существовании предела  S частичной суммы ряда S_n при , т.е. в сходимости последовательности частичных сумм ряда

В силу же критерия Коши существования предела последовательности можно сказать, что последовательность (2) сходится к пределу тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер N, что для всех n >m верно неравенство .

 Пусть для определенности m = n + p и n < m, тогда имеем 

S_m - S_n = S_n+p - S_n = U_n+1 + U_n+2 +...+ U_n+p

причем здесь p может быть любым натуральным числом, т.к. m и n должны быть большими N, а между собой могут отличаться как угодно. Отсюда получаем условие сходимости ряда:

Для сходимости ряда U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n +...  необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при всех n > N было верно неравенство: , каким бы натуральное число p ни было.

Это условие обычно называют условием или критерием Коши. Отсюда при p = 1, в частности следует, что для сходимости ряда необходимо, чтобы при всех n > N было верно неравенство , т.е.