Темы | Предыдущая лекция |Следующий пункт | Литература
Лекция 11.3.

Ряды Фурье.

Функциональный ряд вида:
(1)

где коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
(2)

Называется рядом Фурье для периодической функции периода T = 2l, заданной на отрезке [- l, l ].

Согласно теореме Дирихле функция f(x) может быть разложена в ряд Фурье, если 

1. f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода;

2. f(x) имеет конечное число экстремумов.

Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всем отрезке [- l, l ] и сумма ряда S(x) равна:

1. S(x) = f(x) во всех точках непрерывности, лежащих внутри промежутка ( -l, l );

2. во всех точках разрыва ( f(x - 0), f(x + 0) - пределы слева и справа функции f(x) в точках разрыва).

3. на концах промежутка.

Пример:

Разложить в ряд Фурье функцию  f(x) = 2x на отрезке [- , ].

Решение:  

Найдем коэффициенты ряда , заменив в формулах (2)  l на .

  так как cos πn =(-1)n,

Аналогично:

        

Следовательно, подставляя полученные коэффициенты в формулу (1) найдем разложение данной функции в ряд Фурье:

На границах промежутка сумма ряда Фурье   .

Функция - непрерывная функция, следовательно, сумма ряда Фурье  в каждой точке, принадлежащей неравенству:

Задачи для самостоятельного решения.