ODE Lecture 6.1.

Темы \| Следующий пункт \| Литература

Лекция 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции. Символически дифференциальное уравнение можно написать так или . Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов). Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, уравнение есть уравнение первого порядка, а уравнение - уравнение второго порядка. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения. Пример Рассмотрим уравнение . Функция является решением этого уравнения. Действительно, и уравнение обращается в тождество: . Решением рассматриваемого уравнения будут и функции и вообще функции , где и - произвольные постоянные. В самом деле и уравнение обращается в тождество . Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: . Решение дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид . Общее и частное решение Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию . Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи. Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом. Задача отыскания решения дифференциального уравнения y^I = f(x,y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям *y(x_o) = y_o, называется задачей* Коши. Теорема Коши Если функция f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения y^I = f(x,y) - непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f^I_y (x,y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям. Пример Рассмотрим уравнение . Общим решением этого уравнения является семейство функций . Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: . Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию. Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение , получим . Решая это уравнение относительно C получим C = - 3. Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X² - 3. Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка. Интегральные кривые С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая. Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит: а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия, или б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.


Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: . Это уравнение для каждой точки определяет значение производной , т.е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений или поле линейных элементов. Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках . Пример Рассмотрим уравнение . В каждой точке (x,y), отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен отношению , т.е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (x,y). Очевидно, что интегральными кривыми будут прямые y=Cx, где C - произвольная постоянная, т.к. направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Рассматривая уравнение первого порядка , разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие частного решения, удовлетворяющего этому условию. Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным. Рассмотрим, например, уравнение . Общим решением является функция , а интегральными кривыми - семейство гипербол, причем через каждую точку , не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т.е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy. Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. В некоторых случаях решение может оказаться не единственным. Так, например, уравнение имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0). В самом деле, функция является общим решением этого уравнения, а при любом значении C прямая проходит через начало координат. На вопрос, при каких условиях для уравнения можно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , отвечает следующая теорема. Теорема. Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy . Тогда, если точка принадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Геометрически это означает, что через каждую точку области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения . Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции и не определены при и, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором - к нарушению единственности в точке (0,0).