ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущий пункт | Следующая лекция |Литература

Лекция 13.2

Вероятность сложность событий

13.2.4 Независимость событий

В рамках математической модели понятие независимости удобно ввести с помощью понятия условной вероятности. Будем говорить, что событие В не зависит от события А , если Р(В/А) = Р(В), Р(А) > 0.

Пусть событие В не зависит от события А, тогда

Таким образом, если Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то понятие независимости двух событий симметрично, то ест5ь, если В не зависит от А, то и А не зависит от В. Для независимых событий принцип умножения вероятности принимает вид

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Обобщим последний результат. События

назовем взаимно независимыми (или просто независимыми), если для всех комбинаций индексов

(k = 2, 3, ... n) имеем

Если последнее равенство выполнено только при k = 2, то события называют попарно независимыми. Следует иметь ввиду, что из попарной независимости не следует взаимная независимость.

Теоретико – вероятностная независимость связана с причинной независимостью реальных событий. Пусть при n наблюдениях события А, В и АВ произошли n_A, n_B и n_ABраз. Из свойства устойчивости частот следуют приближенные равенства

Следовательно, для событий А и В независимых в теоретико – вероятностном смысле, из равенства Р(А/В) = Р(А) следует ожидать выполнения приближенного равенства

, или, что эквивалентно .

Это свойство для причинно – независимых событий А и В установлено длительной практикой. При построении математической модели используется следующий принцип: причинно – независимые события независимы и в теоретико - вероятностном смысле.

Пример.

Рассмотрим следующий эксперимент. Из карточной колоды, содержащей 36 карт, наугад вытягивается одна карта. Пусть событие А₁ состоит в том, что это пика, а событие А₂ в том, что это дама. Является ли независимыми эти события?

Решение
Так как события – вытягивание карт – равновозможные, то согласно классического определения вероятности (в колоде 9 «пик» и 4 «дамы») имеем

Вероятность вытянуть «даму пик» . Таким образом события А₁ и А₂ являются независимыми.