11.1.7. Знакочередующиеся ряды.

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.

Выше были рассмотрены ряды, члены которых положительны. Теперь рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида: 

U1 - U2 + U3 - ... + Un - ....    где Un > 0.

(1)

Теорема Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда (1) удовлетворяют условиям: 

U1 > U2 > U3 >…

(2)

и

(3)

то такой ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство:

Рассмотрим сумму n = 2m первых членов ряда (1):

S_2m = ( U₁ - U₂ ) + ( U₃ - U₄ ) + ... + ( U_{2m -1} - U_2m )

Из условия (2) следует, что выражение в каждой скобке положительно, следовательно, сумма   S_2m > 0   и возрастает с возрастанием m.

Запишем теперь эту сумму так:

S_2m = U₁ - ( U₂ - U₃ ) - ( U₄ - U₅ ) - ... - ( U_2m-2 - U_2m-1 ) - U_2m

В силу условия (2) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из U₁ получим число, меньшее чем U₁, т.е. S_2m < U₁.  Таким образом, установлено, что S_2m при возрастании m ограничена сверху, т.е. S_2m имеет предел S: 

,       причем    0 < S < U₁

Однако сходимость ряда еще не доказана, установлено, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S.  Покажем, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму n = 2m+1 первых членов ряда (1):  

S_2m+1 = S_2m + U_2m+1.

Так как по условию (3): , то, следовательно, ,

т.е. доказано, что , как при четном, так и при нечетном. Следовательно, ряд (1) сходится.

Ряд, удовлетворяющий условиям (2) и (3), называется рядом Лейбница.

Остаток 

r_n = (-1)ⁿ U_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹ U_n+2+ ...

ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .  Это неравенство удобно использовать для оценки погрешности, получаемой при замене суммы S ряда Лейбница ее приближенным значением:

S_n = U₁ - U₂ + ... +(-1)ⁿ⁺¹ U_n

Примеры:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

1)                

Решение:

Проверим выполнение условий (2) и (3) теоремы Лейбница. Имеем:

            , 

т.е. условия выполнены, но этот ряд сходится условно, так как ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).

2)       

Решение:

Условия теоремы Лейбница выполнены:

  ,        

Следовательно, ряд сходится и сходится абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Сходимость этого ряда легко обнаружить, если применить предельный признак сравнения со сходящимся рядом ,      т.е.        .

Задачи для самостоятельного решения.