Рассмотрим сначала скалярное умножение, начав с приводящего к нему понятия работы.

Рис. 2.15

Пусть постоянная сила действует на прямолинейно перемещающуюся точку М под постоянным углом к направлению перемещения (рис.2.15). Тогда как известно из физики, работа А силы на перемещение определяется произведением модуля силы на величину перемещения и на косинус угла между ними, т.е.

(2.1)

Таким образом, двум векторам - силе и перемещению - оказался сопоставлен вполне определенный скаляр А - работа. Этот скаляр А и называется скалярным произведением силы на перемещение .

.

В дальнейшем изложении будем следовать обозначению . 

Таким образом, на основании определения

(2.2)

Из (2.2) следует, что скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю или когда эти векторы перпендикулярны. Поэтому условие можно рассматривать как условие перпендикулярности двух ненулевых векторов и .

Используя определение проекции вектора на ось, можно скалярное произведение представить в виде:

Пр       или Пр

(2.3)

Скалярное произведение равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого на первый.

Законы скалярного умножения

Непосредственно из определения скалярного умножения и из формул (2.3) следует, что алгебраические законы умножения чисел полностью сохраняются и для скалярного умножения векторов:

1) Закон переместительности ;

2) Закон распределительности ;

3) Закон сочетательности относительно скалярного множителя : .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Действительно,

, т.е. .

Скалярное произведение в координатной форме

Легко показать, что для скалярного произведения ортов имеют место следующие равенства:

Используя эти соотношения, получим запись скалярного произведения в координатной форме.

Пусть два вектора и разложены по координатным ортам:

Перемножив почленно, мы получим

отсюда, в силу правила перемножения ортов, следует:

(2.4)

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих проекций. В частности, скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его проекций

Отсюда получаем формулу для вычисления длины вектора:

(2.5)

Из определения скалярного произведения двух векторов получим формулу для вычисления угла между двумя векторами:

(2.6)

Пример 1.