Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Home page Home page Лекция 3.1.

Предел. Непрерывность функции.


3.1.8. Замечательные пределы


Первый замечательный предел

Функция  не определена при x = 0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке

Однако, можно найти предел этой функции при :

Приведем доказательство записанной формулы. 

Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол , выраженный в радианах, заключен в пределах . (Так как  четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака , то достаточно рассмотреть случай, когда > 0) Из рисунка видно, что

Так как указанные площади соответственно равны

Следовательно,

Разделим все члены неравенства на sin>0

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что .

Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности

Пример

Примеры

1.

2.

3.

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Пример

Примеры

1.

2.

3.

 

Top of page