ODE Lecture 6.1.

Темы \| Предыдущий пункт \| Следующий пункт \| Литература

Лекция 3.1. Предел. Непрерывность функции.

3.1.9. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка.
Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительно g(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать

Примеры

1. Пусть f(x)=x²,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при . Найдем

Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).

2. Пусть f(x)=x²–4,g(x)=x²–5x+6 – бесконечно малые при .

Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.

3. f(x)=tg2x, g(x) = 2x – бесконечно малые при .

Следовательно, f(x) и g(x) эквивалентны.

4. - бесконечно малые при .

– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при . Если и , то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

что и требовалось доказать.

Следующие бесконечно малые функции эквивалентны при :

Примеры