Лекция 13.6

Предельные теоремы теории вероятностей

13.6.1  Закон больших чисел

Предельные теоремы устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью, что позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний, связанных с изучением закономерностей массовых случайных явлений. Они делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел, а другая – центральной предельной теоремы.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определенных условий к некоторым постоянным значениям.

Если в неравенстве Чебышева положить У = Х – М(Х), то D(X) = MY²

и это неравенство примет вид

Пример 1 

Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. 

Решение

Давно замечено, что хотя результаты отдельных измерений могут колебаться довольно значительно, их среднее арифметическое обнаруживает большую устойчивость. На этом экспериментальном факте устойчивости частот основаны все применения теории вероятностей. Но раз это явление имеет место в действительности, то в математической модели, с помощью которой изучаются случайные явления , должна существовать отражающая этот факт теорема.

В условии теоремы вводятся некоторые ограничения на случайные величины . Одна группа ограничений включает одинаковость распределений всех случайных величин или одинаковость математических ожиданий и что дисперсии случайных величин ограничены одним и тем же числом

Вторая группа – предположения о независимости величин (по парную независимость), что означает .

С учетом этих предположений образуем новую случайную величину

как среднюю арифметическую этих случайных величин. Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин, получим

Применим к случайной величине  неравенство Чебышева

Выбрав число n членов в средней арифметической, достаточно большим, получим, что число

может быть сделано сколь угодно малым.

Таким образом доказана следующая теорема

Теорема Чебышева 

При достаточно большом числе независимых испытаний n можно с вероятностью, близкой к нулю, утверждать , что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины Х и математическим ожидание этой величины окажется больше заданного числа при условии, что случайная величина имеет конечную дисперсию:

Это утверждение равносильно тому, что

с возрастанием n, где а = М(х).

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании и наоборот. Так, на основании теоремы можно утверждать, что если произведено достаточно большое количество измерений некоторого параметра прибором без систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра. 

Теорема Чебышева распространяется и на случай n попарно независимых случайных величин с различными математическими ожиданиями и дисперсиями, то есть справедливо соотношение

Пример

Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочным путем устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, так как вес отливки, рассчитанный по металлической модели отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью, большей 0,9 , можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчетного, принятого за математическое ожидание веса, не более чем на 0,2 кг?

Решение

Согласно условию задачи, имеем = 0.45, = 0.2, , 

где - средний вес отливок. На основании теоремы Чебышева имеем

,

Следовательно  или ,

Откуда находим n > 50.  

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между частотой появления события и его вероятностью, то есть объясняет эффект устойчивости относительных частот. Эта теорема может быть получена как следствие из теоремы Чебышева.

Теорема

При достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что частота появления события А в этих испытаниях, отличается от его вероятности по абсолютной величине больше, чем на любое число , может быть сделана сколь угодно малой, то есть

При решении практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появления события от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появления события А в n независимых испытаниях:

Используя неравенство Чебышева, получим

Пример

Из 1000 изделий, отправляемых в сборочный цех, было подвергнуто обследованию 200 отобранных случайным образом изделий. Среди них оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более 15 % и не менее 10%. 

Решение

Находим вероятность изготовления бракованного изделия

Наибольшее отклонение частоты появления бракованных изделий от вероятности р по абсолютной величине равно

число испытаний n = 1000. Используя формулу , получим