5.2.1.Вычисление площадей плоских фигур.

Задача 1. Найти площадь криволинейной трапеции (рис.1), Ограниченной дугой графика функции
y = f(x), отрезком оси ОХ и двумя вертикалями x = a ; x = b.

Рис.1 

На основании геометрического смысла интеграла:

(1)

Пример:

Вычислить площадь одной волны синусоиды y = sin x . 

 
Задача 2. Найти площадь области, ограниченной графиками непрерывных функций и и двумя прямыми x = a, x = b 

Искомую площадь можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций.

(2)

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  y =3x - x² и y = -x.
Находим точки пересечения и строим искомую фигуру :

и
Следовательно: .
Замечание.
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями , , то площадь криволинейной трапеции:

(3)

где и определяются из уравнений , .

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом: .
Запишем параметрическое уравнение эллипса: , . С учетом симметрии фигуры получаем:

.

Задачи для самостоятельного решения.