Лекция 5.3.

Неcобственный интеграл.

5.3.1.  Интеграл по бесконечному  промежутку.

При определении интеграла предполагалось, что:
1) Промежуток интегрирования [a, b] конечен;
2) Подинтегральная функция f(x) - определена и непрерывна на [a, b].

Иногда от одного или от обоих этих предположений можно отказаться. В этом случае интеграл имеет название несобственный интеграл.


Пусть функция f(x) задана и непрерывна на полуинтервале . 

Тогда для любого x = B существует интеграл . 

Если существует конечный предел , то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования функции f(x) на интервале и записывают в виде:

(1)

При этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае (предел не существует или равен ) говорят, что интеграл расходится.

Примеры:
1.  

Предел не существует. Несобственный интеграл не существует.
2.  

Несобственный интеграл расходится.
3.  

Интеграл сходится.

Теорема.
Если f(x) > 0 то интеграл  возрастает вместе с b.

Доказательство:  

Пусть , так как (интеграл от положительной функции), то

 

Рис. 1

Известно, что всякая возрастающая переменная имеет предел (конечный или бесконечный), то есть при f(x) > 0 интеграл имеет (конечное или бесконечное) числовое значение. Геометрически - это площадь фигуры, ограниченной слева прямой х = a, снизу осью Ox, сверху графиком y = f(x) и неограниченно простирающейся прямой направо. (Рис. 1)
Пусть F(x) - первообразная для f(x), тогда
. 

Если ввести обозначение , то приходим к обобщенной формуле Ньютона - Лейбница

Мы рассмотрели вычисление интеграла .
Аналогично можно определить интегралы с бесконечным нижним пределом и обоими бесконечными пределами:
;
, где

Пример: