ODE Lecture 6.1.

Темы \| Предыдущий пункт \| Следующий пункт \| Литература

Лекция 3.1. Предел. Непрерывность функции.

3.1.3. Предел функции

Пусть функция y= f (x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так . Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b. Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при

Введем строгое определение предела функции.

Функция y = f (x) стремится к пределу b при , если для каждого положительного числа , как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число , что при всех из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < , имеет место неравенство |f(x) - b| <

Если b есть предел функции f(x) при , то пишут

или при

Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < должно следовать неравенство |f(x) - b| < , т.е. при x Î (a - , a + ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - , b + ), то, взяв произвольное > 0, мы можем подобрать такое число , что для всех точек x, лежащих в – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2, ограниченной прямыми y = b – и y = b + .

Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при функция имеет предел, то он единственный.

Пример

Найти предел функции y = 2x + 1 при .

Используя график функции, можно увидеть, что если с любой стороны, то соответствующие точки M (x, y) графика стремятся к точке M (1, 3), т.е. можно предположить, что

Докажем это. Зададим произвольное число > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3| < ; или |2x–2| < ; , откуда |x– 1| < . Таким образом, если положить = /2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x– 1| < , будет выполняться неравенство |y – 3| < . По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y = 2x+1 при

Понятие предела функции в бесконечно удаленной точке

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х = х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x| > M.

Например, пусть переменная х принимает значения x₁= –1, x₂=2, x₃= –3, …, x_n=(–1)ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина , если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, , если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при , если для произвольного малого положительного числа можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < . Обозначают:

Пример

Используя определение, доказать, что .

Нужно доказать, что при произвольном будет выполняться неравенство , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором . Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если |x|>1/= M. Это и значит, что (см. рис.).

Бесконечно большие функции

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при или .

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при , т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое > 0, что для всех значений , удовлетворяющих условию |x-a| < , имеет место неравенство |f(x)| > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при , то пишут

Ограниченные функции

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Примеры:

Функция y = sin x, определенная при , является ограниченной, так как при всех значениях x .
Функция y=x²+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка .
Рассмотрим функцию y=ln x при . Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при .

Функция y = f(x) называется ограниченной при , если существует окрестность с центром в точке а, в которой функция ограничена.

Функция y = f(x) называется ограниченной при , если найдется такое число N>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.

Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

Теорема

Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при .

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой.