3.2.4. Производные некоторых основных элементарных функций

Если n - целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

Можно доказать, что 

Итак, если x получает приращение x, то , и, следовательно,

.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель x в степени выше 3.

Найдем предел:

Мы доказали эту формулу для . Далее увидим, что она справедлива и для .

2. y = sin x.

Вновь воспользуемся определением производной.

Так как  , то

Таким образом,

Аналогично можно показать, что

.

3. y = ln x

Имеем . Поэтому

Итак,

.

Используя свойства логарифма можно показать, что

.