ODE Lecture 6.2.

Темы \| Предыдущий пункт \| Литература

Лекция 3.2. Производная и дифференциал

3.2.5. Основные правила дифференцирования

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. пусть u = u(x), v = v(x) - две дифференцируемые функции от переменной x.

1
2
3
4
5

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+x имеем y(x+x) = u(x+x) + v(x+x).

Тогда

y = y(x+x) - y(x) = u(x+x) + v(x+x) - u(x) - v(x) = u + v.

Следовательно:

Доказательство формулы 4.

Пусть y = u(x) v(x). Для значения аргумента x+x имеем y(x+x) = u(x+x) v(x+x).

Тогда

y = y(x+x) - y(x) = u(x+x) v(x+x) - u(x) v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит: .

Поэтому можем записать:

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда:

Примеры:

1.

2.

3.

Таким образом:

Аналогично выводится: