Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература
Лекция 11.1.

Числовые ряды

11.1.5. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признак Даламбера.


Введем два понятия.

Ряд
U1 + U2 + U3 + ... +Un +... (1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
(2)

образованный из абсолютных значений членов ряда (1). 

Очевидно, что при сходимости ряда (2) ряд (1) не может быть расходящимся, т.к. 

, и поэтому, если условию Коши

удовлетворяет ряд  (2), то удовлетворяет и ряд  (1). 

Таким образом, когда ряд  (2) сходится, тогда сходится и ряд  (1), причем в этом случае ряд (1)  называется абсолютно сходящимся. 

Если же ряд  (1) сходится, а ряд  (2) расходится, то ряд  (1)  называется условно сходящимся.

 

Признак Даламбера


Пользуясь принципом сравнения рядов, можно получить простой признак абсолютной сходимости ряда.

Пусть для ряда 
U1 + U2 + U3 + ... +Un +... (1) 

выполнено условие:  
(2)

при всех n, начиная с некоторого номера n0. Докажем, что ряд (1) сходится абсолютно. Действительно, в силу условия (2) имеем 

Отсюда получим: .
(3)

Так как ряд     , образованный из геометрической прогрессии со знаменателем q, где q < 1, сходится, то в силу принципа сравнения рядов и неравенства (3) сходится и ряд
(4)

Отсюда в свою очередь вытекает сходимость ряда 
(5)

для которого ряд (4) является остаточным членом. Но сходимость ряда (5) и означает абсолютную сходимость данного ряда (1). 

Заметим, что если для ряда (1)

  , то 

условие (2) для него выполнено, а значит, ряд (1) сходится абсолютно.

Действительно, если возьмем некоторое число q, удовлетворяющее условию k < q < 1, то при достаточно большом nо для всех будет верно неравенство:

          так как , когда 

Если  же для ряда (1)  окажется, что       , 

то при достаточно большом  nо для всех будет верно неравенство      или , откуда  видно, что Un не стремится к нулю при  , т.е. ряд (1) не удовлетворяет необходимому  условию  сходимости, и поэтому расходится.

Если же  , то ряд (1) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, 

нужно дополнительное исследование.

Все сказанное доказывает справедливость утверждения, называемого признаком Даламбера

сходимости ряда:

Если для ряда U1 + U2 + U3 + ... +Un +...      имеем:

,

то при k<1 ряд сходится абсолютно,  а при k >1 ряд расходится.   Если k =1, то вопрос о сходимости ряда нужно решать другими средствами.

Примеры:

Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряды:

1)

Решение:

Найдем:          Имеем         

, а поэтому ряд расходится.

2)           

Решение: 

       ряд сходится.

3)           

Решение:

;                 

     - ряд сходится.

4)         

Решение:

       - ряд расходится.

Задачи для самостоятельного решения.