ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт |Литература

Лекция 1.2.

Векторная алгебра

1.2.10 Арифметическое n - мерное векторное пространство.

Решая систему линейных уравнений методом Гаусса, мы оперируем по существу не с самими уравнениями , а со строками из чисел . Поэтому целесообразно рассмотреть такие строки как самостоятельные объекты, определив над ними естественные операции.

Назовем любую систему чисел, заданных в определенном порядке

арифметическим n-мерным вектором. Числа называются координатами вектора, а число n - его размерностью. Изображение в виде направленных отрезков допускают только арифметические векторы размерностей 1, 2 или 3. На совокупности арифметических векторов введем линейные операции, аналогичные операциям с геометрическими векторами в физике и превратим эту совокупность в арифметическое n - мерное векторное пространство . Для краткости в дальнейшем будем опускать слово арифметический и говорить просто ”вектор”.

Два вектора одной и той же размерности

считаем равными и обозначаем , если равны их соответствующие координаты

Суммой двух векторов и одной размерности называется вектор

Произведением вектора на число k называется вектор

Легко проверить, что эти операции обладают переместительным, сочетательным и распределительным свойствами:

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

При исследовании какого-либо процесса обычно приходится иметь дело не с одним вектором, а с целым множеством или системой векторов (одной и той же размерности): .

Выражение вида , где - некоторые произвольные числа называется линейной комбинацией данных векторов.

Пример 1.

Найти линейную комбинацию векторов

Решение:

Используя свойства (4) и (5) получим:

.

Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что разлагается по векторам .

Для того, чтобы охарактеризовать взаимное расположение векторов, вводится понятие линейной зависимости системы векторов, согласно которому система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Для двух векторов свойство линейной зависимости означает их коллинеарность, для трех векторов - компланарность.

Пример 2.

Дана система векторов . Установить, будет ли она линейно зависимой.

Решение:

На основании определения линейной зависимости запишем соотношение и найдем числа . В координатной записи векторное уравнение равносильно системе уравнений:

,

общее решение которой , где c - произвольные постоянные. Полагая , найдем .

Система векторов оказывается связанной линейной зависимостью

Можно показать, что в пространстве существует система из n линейно-независимых векторов, через которые любой вектор линейно выражается. Примером такой системы может служить

Такая система векторов называется базисом. Если координаты данной системы векторов записать в виде матрицы, то введенное ранее понятие ранга матрицы будет указывать максимальное число линейно-независимых векторов в данной системе.

Пример 3.

Для системы векторов:

найти базис и выразить через него все остальные векторы системы.

Решение:

Составляем из координат векторов матрицу и преобразуем ее по схеме Гаусса:

.

Ранг матрицы А равен 3, следовательно, базис исходной системы векторов состоит из трех векторов, а, именно, . Из равенства находим выражение вектора через базисные векторы .

С каждой системой линейных уравнений

можно связать систему векторов

Тогда система линейных уравнений эквивалентна одному векторному уравнению .

Например, для системы векторная запись будет

Векторная запись позволяет по-новому взглянуть на вопрос о совместности системы линейных уравнений, который может быть сформулирован в следующем виде: допускает ли вектор разложение по векторам ?