ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Лекция 1.2.

Векторная алгебра

1.2.4. Векторный базис на плоскости и в пространстве, координаты вектора.

Определение 1.

Линейной комбинацией векторов называется любой вектор вида , где - действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение 2.

Заданные векторы называются линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов является линейной комбинацией остальных; в противном случае эти векторы называются линейно независимымыми (между собой).

Если вектор представлен в виде линейной комбинации некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Так, например, если вектор , то можно сказать, что вектор разложен по векторам и , а векторы , и - линейно зависимы.

Рис. 2.12.

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность (докажите это). Из этого суждения следует: если векторы и не коллинеарны, то они линейно независимы. Если взять на плоскости любые два неколлинеарных вектора и , то любой третий вектор в этой же плоскости можно разложить по векторам и единственным образом, т.е. представить в виде линейной комбинации (рис. 2.12).

Поэтому на плоскости можно указать два линейно независимых вектора, но всякие три вектора уже линейно зависимы.

Определение 3.

Совокупность двух линейно независимых векторов и , лежащих в одной плоскости называется базисом на этой плоскости, если любой лежащий в этой плоскости вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и : . Числа x и y называются координатами вектора ( относительно базиса , ), при этом пишут . Любая пара, лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и , образует базис на этой плоскости.

Определение 4.

Базис (; ) называется ортонормированным, если и , т.е. базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны.

В ортонормированном базисе на плоскости единичные векторы обозначаются через и .Разложение вектора по базису (; ) имеет вид: . Например, разложение вектора по базису (; ) имеет вид: . Если же вектор задан своим разложением в базисе ( ; ), например , то в этом базисе он имеет координаты .

Подобным образом в пространстве можно указать уже три линейно независимых вектора ( любая тройка некомпланарных векторов) , , .Их можно принять за базис, так как любой четвертый вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и : .

Числа x, y, z называются координатами вектора в базисе ( ; ; )., при этом пишут . Базисные векторы ортонормированного базиса простран-ства мы будем обозначать через .

Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы. При сложении двух векторов их координаты (относительно любого базиса ) складываются. При умножении вектора на любое действительное число все его координаты умножаются на это число.